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单自由度振动问题是机械振动中最基本的问题，通过该问题的讨论与研究，几乎可得到整个振动问题研究的一般概念和一般方法。在单自由度自由振动的讨论中，可以了解振动系统固有特性的基本概貌；可以了解线性振动与非线性振动的关联与转化，可以从中找到解决的思想与方法，可以得到非线性与随机问题的区别等。由微分方程的求解方法（分离变量直接积分法、特征值法、降阶法）可以延伸到非线性问题中来。由微分方程的参数特性引入随机振动问题等。
先通过单自由度自由振动的例子，展示问题的模型化、方程建立、解方程（积分、特征值、降阶—状态方程、能量与积分、非线性、泰勒级数应用等）、解得的参数的物理意义分析（固有频率、初始条件、实际现象的观察等）极其实际应用等。
后续各专题将重复这些过程，以便传递规律性的研究模式、方法或思想。
4.1.1物理系统研究（本构方程问题）-固有特性分析振动系统可以根据两类明显的数学模型,即离散的和连续的，来进行分类。离散系统具有有限的自由度，而连续系统具有无限自由度。当然，按离散与连续划分所得到的振动系统，还有线性与非线性之分。在离散数学模型中，最简单的是单自由度线性系统，可以用一个普通的二阶常系数常微分方程来描述它。从建模研究中可见，这种模型经常作为一种非常粗略的近似而用于实际上相当复杂的系统中。由此，就会有人认为这种模型是无足轻重的。但这是一个不成熟的看法。因为，通过这种模型的研究与分析，可以将最基本的思想、方法、结论传达给读者，从而获得一个简单明了的框架（体系、轮廓）。如果这种被称作模型分析的技术应用于振动系统中，那么，与许多线性多自由度离散系统和连续系统相关的数学公式都可以被简化为成套的独立二阶微分方程，这种简化后的方程与单自由度系统的方程是很类似的。因此，对单自由度线性系统进行充分的研究是完全必要的。不幸的是，同样的技术不能用于非线性多自由度离散系统和连续系统，原因在于以上的简化是使得叠加原理失去作用，即叠加原理仅适用于线性系统。非线性系统将在这本书的后续章节中讨论。由于物理模型的变化，同线性系统相比，将会引入一些不同的分析方法。对于连续模型的研究，也从后续的研究中发现新的思想与方法。
关于阻尼问题，书中没有对有阻尼系统和无阻尼系统作特别的区分，而是将无阻尼系统看作是有阻尼系统的一种理想化的约束情况。
1．离散系统的物理特性
组成一个离散系统的要素有三种，它们分别是：与力有关联的相互独立的位移，速度和加速度。
与力有关的位移这种要素的最普通的例子是弹簧入图4-1所示。弹簧一般被假设为没有质量。因此，加在弹簧一端的力Fs必须由加在弹簧另一端的力Fs来保持平衡，只是后者同前者大小相等，方向相反。由于力Fs的存在，弹簧将产生伸长，伸长量等于端点x2和x1的位移的差。表示力Fs和弹簧的伸长量x2-x1的函数关系的典型曲线如图4-1所示。它的特性与所谓的软弹簧相一致。因为随着伸长量x2-x1的增加，力Fs以逐渐减小的速率增大。如果随着伸长量x2-x1的增加,力Fs倾向于以逐渐增大的速率增大,这种弹簧被称为硬弹簧。同图4-1所示相一致的力-伸长量之间的关系显然是非线性的。可是，即使x2-x1为极小的数值，力却会是伸长量的几倍。比例系数为斜率k。满足上述范围力-伸长量关系的弹簧被称为线性弹簧，常数k被称为弹簧常数或弹簧刚度。当弹簧在线性范围内变化时，常用刚度k表征它。注意k的单位是牛顿米(N/m)。力Fs是弹性力被称为恢复力。因为对一个拉伸弹簧来讲,力Fs有使弹簧回到非拉伸状态的趋势。在许多情况下，非拉伸状态与平衡状态是一致的。
弹簧与阻尼模型-线性化问题说明与力有关的速度这种要素的最普通的例子是阻尼器。它由一个活塞和一个气缸组成。活塞松散地安装在气缸里。气缸中充满了水或油，这样，粘性的液体可以在汽缸里在活塞周围流动。这种阻尼器被称为粘性阻尼器或者延迟器，如图4-1所示。阻尼器也假设为无质量的.因此，作用在一端的力Fd必须由作用在另一端的相应的力来平衡。如果力Fd在粘性液体中导致了光滑的修剪，那么表示Fd与系的曲线将是线性的，如图4-1所示。注意：点表示时间的导数。比例常数c被称为粘性阻尼的系数，它仅是表示力Fd与关系的曲线的斜率。我们常用这个粘性阻尼系数c表示这种阻尼.c的单位是牛顿-秒/米(N-s/m).力Fd是一个阻尼力，因为它限制了相对速度的增长。
能够说明与力有关的要素--加速度的最普通的例子是分离质量。这是牛顿第二运动定律的一种情况。根据这个定律，相对于一个惯性参照系，力Fm与加速度成正比，比例系数就是质量m。注意：m的单位是千克(kg)，而且，在SI单位制里，千克是一个基本单位，而牛顿是一个派生单位。
这三个要素的物理性质分别所对应的常数参数分别为k,c,m。必须指出，除非有专门说明，弹簧和阻尼器都是没有质量的。一方面，通常认为刚体才具有质量。我们注意到，弹簧和质量都能储存和释放能量（相当于电容、电感）；在弹簧的情况下，能量是潜在的，而在质量的情况下能量是动态的。另一方面，阻尼器消耗能量（相当于电阻）。通常不加指明的情况下，k,c,m是确定性的常值参数。如何计算呢？
前面的讨论仅涉及了平移运动。虽然在扭转振动中,有的系统也有旋转运动，但是，在轴向运动和扭转振动直接有着同样的分析。对应于平动中的弹簧，粘性阻尼和质量，扭转振动中有扭转弹簧，扭转弹性阻尼和具有转动惯量的圆盘。实际上，用θ2和θ1来表示扭转弹簧两个端点的角位移。弹簧中的恢复扭转力矩为k与Ms的乘积。表示Ms与θ2-θ1之间关系的曲线类似于图4-1所示的曲线。而且，用Md表示阻尼扭转力矩，用c表示扭转弹性阻尼的阻尼系数。表示Md与速度之间关系的曲线类似于图4-1所示的曲线。最后，如果扭转系统包含一个具有转动惯量I的圆盘，圆盘将会有角位移θ。那么，表示MI和角加速度关系的曲线类似于直线运动的曲线。这里MI是惯性扭转力矩。当然，转动惯量I是曲线的斜率。注意：扭转弹簧的k的单位是牛顿-米/弧度(N-m/rad)。
有时，几个弹簧以不同的方式联结起来使用。最让人感兴趣的是串联弹簧和并联弹簧。
必须指出，许多弹性元件，例如轴向振动中的细长杆，扭转振动中的轴和弯曲中的梁，有时都可以被看作弹簧。在这些情况下，等效弹簧常数通过用力(或力矩)除以最终位移(或旋转角)得到。
螺旋弹簧实例螺旋弹簧的参数关系-刚度K板弹簧工程应用一例板弹簧刚度K计算参数关系螺旋弹簧、板弹簧的参数都会影响弹簧刚度。一旦确定下来，其性能就固定了-固有特性就确定了。对于振动系统来说就，会发生两个问题：一个是振动系统需要设计一个合适的弹簧-参数的技术确认，制造参数与工艺的确认，实验验证。另一个是已知振动系统特性，对标准弹簧的选择及其调整-还有避免共振问题。
2．线性系统的二阶运动微分方程分析
一种相当有趣的情形是弹簧-阻尼-质量系统。我们可以利用牛顿第二定律推导出运动微分方程。用F(t)代表系统所受外力，x(t)代表质量m相对于平衡位置的位移，这个平衡位置等价于弹簧的自由状态。我们可以写出一个常系数二阶线性微分方程。常数系数m,c,k代表物理系统的固有特性。方程的通解在振动中是相当重要的，它反映了发生振动现象的物理系统的固有的动力特性。
